دیوفانتوس اسکندرانی

دیوفانتوس اسکندرانی از ریاضیدانان قدیم است که در حدود قرن سوم عصر حاضر می زیسته است.
از کسانی که اهمیت وافری در بسط جبر و تاثیری عظیم بر دانشمندان اروپایی نظریه اعداد داشتند، دیوفانتوس اسکندرانی (Diophantus of Alexandria) بود. دیوفانتوس، همچون هرون، ریاضیدان دیگری با تاریخ و ملیت نامعلوم است.
گرچه شواهد ضعیفی وجود دارند مبنی بر اینکه وی شاید از معاصرین، یا تقریباً از معاصرین هرون بوده است، اغلب مورخین مایلند او را در قرن سوم عصر حاضر قرار دهند. سوای این حقیقت که او در اسکندریه زندگی می کرده است چیز قطعی در باره وی معلوم نمی باشد. تقریباً همه آنچه از زندگی شخصی دیوفانتوس می دانیم اطلاعات موجود در یک معما است که در خلاصه زیر از کتیبه گوری که در آنتولوژی یونانی داده شده است، مندرج است:

« دیوفانتوس یک ششم زندگانی خود را در کودکی به سر برد، یک دوازدهم آن را در جوانی و یک هفتم دیگر را در تجرد. پنج سال بعد از ازدواج صاحب پسری شد که چهار سال پیش از پدر، در سنی که نصف سن (نهایی) پدرش بود، در گذشت.دیوفانتوس به هنگام وفات چند سال داشت؟ »

او به خاطر مطالعات خود در زمینه معادلاتی با متغیرهای گویا بسیار مشهور است و این معادلات پس از او به نام معادلات دیوفانتوسی یا معادلات سیاله نامیده شدند. دیوفانتوس سه اثر نوشته است:

* آریثمتیکا (Arithmetica) یا همان علم حساب، مهمترین اثر وی است که 6 مقاله از 13 مقاله آن باقی است.
* درباره اعداد چند ضلعی (On Polygonal Numbers) که تنها قطعه ای از آن باقی است.
* پوریسم‌ها که مفقود شده است. برای اطلاع خوانندگان باید عرض شود پوریسم(Porism) امروزه به عنوان گزاره‌ای گرفته می‌شود، بیانگر شرطی که مسئله معینی را قابل حل می‌گرداند، و در این صورت مسئله بینهایت جواب دارد. برای مثال اگر r و R شعاع های دو دایره و d فاصله بین مراکز آنها باشد، مسئله محاط کردن مثلثی در دایره‌ی به شعای R که بر دایره به شعاع r محیط شود، فقط و فقط وقتی قابل حل است که R2 = 2rπ، و در این صورت بینهایت مثلث از این قبیل وجود خواهد داشت. این واژه توسط اقلیدس به کار رفته است.

آریثمتیکا شارحین بسیاری داشته است، اما رگیومونتانوس (Regiomontanus) بود که در سال 1463، برای ترجمه لاتین متن یونانی آن دعوت به عمل آورد. ترجمه شایسته‌ای از آن، همراه با شرح، در 1575 توسط کسیلاندر(Xylander)-نامی یونانی که ویلهلم هولتسمان(Wilhelm Holzmann)، استادی در دانشگاه هایدلبرگ اختیار کرده بود-انجام شد. این ترجمه به نوبه خود توسط باشه دومزیریاک(Bachet de Meziriac) فرانسوی مورد استفاده قرار گرفت و وی در 1621 اولین چاپ متن یونانی را همراه با ترجمه لاتین و حاشیه‌هایی بر آن منتشر کرد. چاپ دومی، که با بی‌مبالاتی صورت گرفته بود، در 1670 انتشار یافت، و از نظر تاریخی بدان سبب اهمیت دارد که حواشی نوشته شده توسط فرما را که انگیزه تحقیقات گسترده‌ای در نظریه اعداد شد، شامل می‌شد. ترجمه های فرانسوی، آلمانی و انگلیسی بعدها ظاهر شدند.

آریثمتیکا یک بررسی تحلیلی از نظریه جبری اعداد است و دلالت بر نبوغ مهٔولف آن در این زمینه دارد. بخش موجود این اثر به حل حدود 130 مسئله، که تنوع قابل ملاحظه‌ای دارند، اختصاص یافته است و منجر به معادلاتی از درجه اول و دوم می‌شوند. در این اثر حالت بسیار خاصی از معادله درجه سوم حل شده است. مقاله اول به معادلات معین با یک مجهول مربوط است، و مقاله‌های دیگر به معادلات نامعین(سیاله) از درجه دوم و گاهی بیشتر، با دو یا سه مجهول می‌پردازند. آنچه قابل توجه است فقدآن روشهای کلی، و کاربردهای مکرر تدابیر هوشمندانه‌ای است که به اقتضای هر مسئله طرح می‌شوند. دیوفانتوس تنها جوابهای گویا‌ی مثبت را قبول داشت و اغلب حالات فقط به یک جواب برای مسئله قانع بود.

چند قضیه مهٔوثر درباره اعداد در آریثمتیکا وجود دارند. مثلاً، بدون برهان ولی با اشاراتی به پوریسم‌ها، گفته می‌شود که تفاضل دو مکعب گویا مجموع دو مکعب گویا نیز هست. مطلبی که بعداً توسط ویت، باشه و فرما تحقیق شد.

قضایای زیادی درباره نمایش اعداد به صورت مجموع دو، سه یا چهار مربع وجود دارند، این زمینه تحقیق بعدها به وسیله فرما، اویلر و لاگرانژ تکمیل شد. شاید ذکر برخی از مسائلی که در آریثمتیکا دیده می‌شوند جالب باشد، همه آنها جذاب و بعضی از آنها مستلزم تلاش فراوان هستند. باید در نظر داشت که منظور از «عدد»، «عدد مثبت گویا» است.(شماره گذاری مسائل به همان ترتیبی است که در Diophantus of Alexandria چاپ دوم به کار رفته است)

* مسئله 28،مقاله 2: دوعدد مربع کامل بیابید که اگر حاصلضرب آنها بر هریک از آنها افزوده شود، یک مربع کامل عاید نماید.

(جواب دیوفانتوس:(\frac{7}{24})^2,(\frac{3}{4})^2)

* مسئله6، مقاله 3: سه عدد پیدا کنید که مجموع آنها یک مربع کامل و مجموع هر زوج آنها یک مربع کامل باشد.

(جواب دیوفانتوس: 80،320،41)

* مسئله7، مقاله 3: سه عدد که تصاعد حسابی تشکیل میدهند، پیدا کنید که مجموع هر زوج از آنها یک مربع کامل باشد.

(جواب دیوفانتوس: 1560\frac{1}{2},840\frac{1}{2},120\frac{1}{2})

* مسئله13، مقاله 3: سه عدد بیابید که وقتی حاصلضرب هر دو تا از آنها به سومی افزوده شود، حاصل یک مربع کامل باشد.

همانطور که گفته شد مسایل جبری نامعین (معادلات سیاله) که در آن تنها باید جوابهای گویا را یافت، به مسایل دیوفانتوسی معروف شده‌اند. در واقع، موارد استفاده امروزی این اصطلاح اغلب متضمن تحدید جوابها به اعداد صحیح است. اما دیوفانتوس خود ابداع کننده مسایلی از این قبیل نبوده است. همچنین بر خلاف آنچه گاهی گفته می‌شود، اولین کسی نبوده است که با معادلات سیاله کار کرده است، و اولین کسی نبوده است که معادلات درجه دوم را به روش غیر هندسی حل کرده است. با این حال وی شاید اولین کسی بوده که گامهایی در جهت نماد گذاری جبری برداشته است. این گامها ماهیتاً از نوع علائم اختصاری تندنویسی بودند.

دیوفانتوس علائم اختصاری برای مجهول، توانهای مجهول تا مرتبه ششم، تفریق، تساوی، و معکوسها داشت. کلمه « آریثمتیک » در انگلیسی کنونی (arithmetic) به معنی علم حساب، از کلمه یونانی آریثمتیکه (arithmetike) ترکیبی از کلمات آریثموس(arithmos) برای «عدد» و تکنه(techne) برای «علم»، ناشی می‌شود.

هیث به طور نسبتا متقاعد کننده‌ای خاطر نشان کرده است که نماد دیوفانتوس برای مجهول احتمالاً از ادغام دو حرف یونانی ρ,α در کلمه آریثموس مشتق شده است، که با گذشت زمان، به سیگمای نهایی نهایی یونانی ς شباهت پیدا کرده است. با وجود اینکه در این مورد تردید وجود دارد، معنی نماد برای توانها مجهول کاملا روشن است.

مثلا «توان دوم مجهول» با ΔΥ دو حرف اول کلمه یونانی «دونامیس»(dunamis-ΔΥΝΑΜΙΣ) برای «توان» نشان داده می‌شود. همینطور «مکعب مجهول» با κΥ، دو حرف اول کلمه یونانی «کوبوس»(kubos-ΚΥΒΟΣ) برای «مکعب» نشان داده می‌شود.

می توان به سادگی توضیحاتی برای توان‌های بعدی مجهول داد، ΔΥΔ(مربع-مربع)،ΔκΥ(مربع-مکعب) و κΥκ(مکعب-مکعب) عرضه کرد.

نماد دیوفانتوس برای «منها» شبیه علامت V برعکس است که نیمساز زاویه آن رسم شده باشد. این به عنوان ترکیبی از « Λ » (لاندای بزرگ یونانی) و «Ι» (اوتای بزرگ یونانی)، حروفی در کلمه یونانی لایپیس (ΛΕΙΨΙΣ) برای «فاقد بودن» تعبیر شده است. کلیه جملات منفی در یک عبارت یکجا جمع می‌شوند و نماد منها پیش از آن‌ها می‌آید. جمع با پهلوی هم نهادن نشان داده می‌شود، و ضریب هر توان مجهول با ارقام یونانی الفبایی بعد از نماد توان، نمایش داده می‌شود. اگر جمله ثابتی موجود باشد آنگاه M، مخففی از کلمه یونانی «مونادس»(monades-ΜΟΝΑΔΕΣ) ، برای «آحاد»، باضریب عددی مناسب، برای نمایش آن به کار می‌رود.

مثلاً x3+13x2+5x و x3-5x2+8x-1 به صورت:

تصویر:Diophantus0.gif

ظاهر می‌شوند که به طور تحت الفظی چنین خوانده می‌شوند: «مکعب مجهول 1، مربع مجهول 13، مجهول 5» و «(مکعب مجهول 1،مجهول 8) منهای (مربع مجهول 5، آحاد 1)»

جستارهای وابسته

* معادله سیاله
* آنتولوژی یونانی
* اعداد
* دستگاههای عدد نویسی
* ریاضیات بابلی و مصری
* فیثاغورس
* ارشمیدس

[ویرایش] منابع

* هاورد و.ایوز. آشنایی با تاریخ ریاضیات. ترجمهٔ دکتر محمد قاسم وحیدی اصل. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1369.